线性代数之计算的几何内涵(一)

仅展示对线性代数的几何理解。必要基础:矩阵形式,空间向量概念。

线性变换(linear transformation)

  1. 对空间进行变换时,只需要记录向量空间的一组基(向量)的变换后的结果即可。而且这组变换得到的向量是有限的,可以用一个矩阵表示。即,用矩阵表示一个线性变换。
  2. 该线性变化不应理解为一个计算,而应解释为一个映射规则(函数)。
  3. 该线性变化让空间进行缩放。(空间的所有向量一起进行运动)

矩阵乘法(matirx multipilcation)

这里主要介绍对矩阵×矩阵的理解。

复合变换

  1. 矩阵乘法可以理解为线性变换的复合变换。将一个线性变换视为函数,矩阵乘法即复合函数。
  2. 以此性质证明矩阵乘法的结合律。
    复合函数的计算从右往左:$$f(g(x))$$,将$$g(x)$$的值计算再代入$$f( )$$。
    $$A(BC)=(AB)C$$
    上式显然成立。
  3. 以此证明矩阵乘法的交换律不成立。
    假设函数$$f(x)=x+1,g(x)=x^2$$有$$f(g(a))=a^2+1,g(f(b))=(b+1)^2$$
    例如:

    显然,先剪切,后旋转与先旋转,后剪切得到的空间的变换并不相同。(但他们的行列式相等,即区域增大或者减小的比例相同)

  4. 复合变换是对同一个空间进行有次序的缩放。

线性变换

矩阵乘法还可以是将某个线性变换作用于某个向量。例如:

通过代换,令

有$$A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$ 。
(通过方法$$A$$将$$\vec{x}$$运动到$$\vec{b}$$。)

行列式(determinant)

  1. 矩阵表示空间变换时,对空间进行了缩放,而行列式即表示空间缩放后某个给定区域增大或者减小的比例。($$2 \times 2$$即面积的缩放比例,$$3\times 3$$即体积的缩放比例$$\cdots$$)
  2. 因为行列式的意义是区域缩放的比例,行列式必须是$$n \times n$$形式。
  3. 行列式的值越小,空间的压缩程度越高。当行列式的值为零时,空间压缩得降维度(三维空间可能变成一个面或者一条线)。当行列式的值为负数时,空间被翻转(空间的定向发生改变),代表基向量的两个向量的相对位置也有改变。($$\vec{i}$$本来在$$\vec{j}$$的右边,定向改变后,在其左边)
    $$
    | M_1M_2 |
    =| M_1 | |M_2|
    $$

逆矩阵(inverse matrices)

  1. 逆矩阵即将一个作用了线性变换的向量(空间)还原需要对向量(空间)作用的另一个(逆向)线性变换。记作
  2. 表示对空间(向量)做一个“没有改变”的线性变换,即保持基向量$$\vec{i},\vec{j}$$不变。由此确定矩阵的数值。
    $$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$时,可以通过$$\vec{x}=A^{-1}\vec{v}$$求值。
  3. 行列式为零时不存在逆变换,因为,当行列式等于零的时候,相当(与该方程组相关的变换)该线性变换将空间压缩到了低维度,此时“损失了信息”,因此该过程不可逆。虽然如此,$$A\cdot\vec{x}=\vec{b}$$的解仍然可能存在。

列空间(column space)

$$A$$所有可能的输出向量的集合,称为$$A$$的列空间。

秩(rank)

零行列式的时候,我们知道空间被压缩得降低维度。这种情况,还可以用秩来表示。秩表示变换后空间的维数。(行列式不为零,满秩矩阵代表不降维的变换)
严格而言,秩的值时列空间的维数。

零空间(null space)

变换后一些向量落在零向量上,这些向量构成的空间称为零空间。